A calculadora de equação do 2º grau resolve expressões na forma ax² + bx + c = 0 usando a fórmula de Bhaskara. Informe os coeficientes a, b e c para calcular delta, raízes reais ou complexas, vértice da parábola, concavidade e a resolução passo a passo.
Resolva equações do 2º grau passo a passo
Informe os coeficientes de ax² + bx + c = 0 para calcular delta, raízes, vértice, concavidade e relações de Girard.
Informe os coeficientes a, b e c para resolver a equação.
Como usar a calculadora de equação do 2º grau?
Informe os três coeficientes da equação escrita na forma:
ax² + bx + c = 0
O coeficiente a acompanha x².
O coeficiente b acompanha x.
O coeficiente c é o termo independente.
A calculadora encontra o delta, aplica a fórmula de Bhaskara, mostra as raízes e apresenta propriedades da parábola, como vértice, concavidade e eixo de simetria.
O que é uma equação do 2º grau?
É uma equação que pode ser escrita como:
ax² + bx + c = 0
com:
a ≠ 0
Ela é chamada de segundo grau porque o maior expoente da variável é 2.
Exemplo:
x² − 5x + 6 = 0
Nesse caso:
a = 1
b = −5
c = 6
O que são os coeficientes a, b e c?
Na expressão:
ax² + bx + c = 0
o coeficiente a multiplica x².
O coeficiente b multiplica x.
O número c aparece sem variável.
Por exemplo:
2x² − 8x + 6 = 0
temos:
a = 2
b = −8
c = 6
O sinal faz parte do coeficiente.
Por que a não pode ser zero?
Se:
a = 0
o termo x² desaparece.
A expressão deixa de ser uma equação do segundo grau e passa a ter a forma:
bx + c = 0
que é uma equação do primeiro grau.
O que é a fórmula de Bhaskara?
A fórmula utilizada para resolver uma equação quadrática é:
x = (−b ± √Δ) ÷ 2a
Antes, precisamos calcular o discriminante:
Δ = b² − 4ac
O símbolo ± significa que fazemos uma conta com o sinal de mais e outra com o sinal de menos.
O que é delta?
Delta, representado por:
Δ
é o discriminante da equação.
Sua fórmula é:
Δ = b² − 4ac
O valor de delta permite descobrir quantas raízes reais a equação possui antes mesmo de concluir a fórmula de Bhaskara.
O que acontece quando delta é positivo?
Quando:
Δ > 0
existem duas raízes reais diferentes.
Exemplo:
x² − 5x + 6 = 0
Delta:
(−5)² − 4 × 1 × 6
25 − 24 = 1
Como delta é positivo, a equação possui duas raízes reais.
Exemplo completo com duas raízes
Considere:
x² − 5x + 6 = 0
Temos:
a = 1
b = −5
c = 6
Delta:
Δ = 25 − 24
Δ = 1
Agora:
x = (5 ± 1) ÷ 2
Primeira raiz:
x₁ = 3
Segunda raiz:
x₂ = 2
Portanto:
x = 2 ou x = 3
O que acontece quando delta é zero?
Quando:
Δ = 0
a equação possui uma única raiz real, chamada também de raiz dupla.
Exemplo:
x² − 4x + 4 = 0
Delta:
16 − 16 = 0
Então:
x = 4 ÷ 2
x = 2
As duas soluções de Bhaskara coincidem no mesmo valor.
O que acontece quando delta é negativo?
Quando:
Δ < 0
não existe raiz quadrada real de delta.
Por isso, a equação não possui raízes no conjunto dos números reais.
Porém, ela continua possuindo soluções no conjunto dos números complexos.
Exemplo:
x² + x + 1 = 0
Delta:
1 − 4
Δ = −3
As soluções são:
x = −0,5 ± 0,8660i
O que é uma raiz da equação?
Uma raiz é um valor de x que faz a expressão se tornar igual a zero.
Por exemplo:
x² − 5x + 6 = 0
Substituindo:
x = 2
temos:
4 − 10 + 6 = 0
Logo, 2 é uma raiz.
Também:
x = 3
produz:
9 − 15 + 6 = 0
Então 3 também é uma raiz.
O que é uma função quadrática?
A função:
f(x) = ax² + bx + c
é chamada de função quadrática.
Seu gráfico possui forma de parábola.
As raízes da equação:
ax² + bx + c = 0
correspondem aos pontos em que essa parábola cruza ou toca o eixo x.
O que é o vértice da parábola?
O vértice é o ponto de mínimo ou máximo da parábola.
Suas coordenadas podem ser calculadas por:
xv = −b ÷ 2a
e:
yv = −Δ ÷ 4a
A calculadora mostra automaticamente:
(xv, yv)
Exemplo de vértice
Na equação:
x² − 5x + 6 = 0
temos:
a = 1
b = −5
Δ = 1
Então:
xv = 5 ÷ 2 = 2,5
e:
yv = −1 ÷ 4 = −0,25
Vértice:
(2,5 ; −0,25)
O que é concavidade?
O sinal de a determina para onde a parábola se abre.
Se:
a > 0
a concavidade é para cima.
O vértice é um ponto de mínimo.
Se:
a < 0
a concavidade é para baixo.
O vértice é um ponto de máximo.
O que é eixo de simetria?
A parábola é simétrica em relação a uma reta vertical que passa pelo vértice.
Essa reta é:
x = −b ÷ 2a
Portanto, o eixo de simetria possui o mesmo valor de x do vértice.
O que são relações de Girard?
As relações de Girard permitem relacionar diretamente os coeficientes com as raízes.
Para:
ax² + bx + c = 0
a soma das raízes é:
x₁ + x₂ = −b/a
e o produto:
x₁ × x₂ = c/a
Essas relações também ajudam a conferir o resultado da fórmula de Bhaskara.
Exemplo das relações de Girard
Considere:
x² − 5x + 6 = 0
As raízes são:
2 e 3
Soma:
2 + 3 = 5
Pela fórmula:
−b/a = −(−5)/1 = 5
Produto:
2 × 3 = 6
Pela fórmula:
c/a = 6/1 = 6
Os resultados conferem.
O que é forma fatorada?
Quando existem raízes reais, uma equação pode ser escrita usando suas raízes.
Se as raízes são x₁ e x₂:
a(x − x₁)(x − x₂) = 0
Para:
x² − 5x + 6 = 0
raízes:
2 e 3
Forma fatorada:
(x − 2)(x − 3) = 0
O que é forma canônica?
A forma canônica de uma função quadrática utiliza o vértice:
a(x − xv)² + yv
Ela é útil para enxergar diretamente onde está o ponto de máximo ou mínimo.
Por exemplo, se o vértice é:
(2, −3)
e:
a = 1
a forma canônica será:
(x − 2)² − 3
Bhaskara funciona para qualquer equação do segundo grau?
Sim, desde que a equação possa ser colocada na forma:
ax² + bx + c = 0
com:
a ≠ 0
Outros métodos também podem resolver determinados casos, mas Bhaskara é um método geral.
Existe outro jeito de resolver?
Sim.
Algumas equações podem ser resolvidas por:
- fatoração;
- soma e produto;
- completar quadrados;
- relações de Girard.
Por exemplo:
x² − 5x + 6 = 0
pode ser fatorada como:
(x − 2)(x − 3) = 0
sem precisar calcular delta.
Quando usar soma e produto?
Soma e produto são especialmente úteis quando as raízes são números simples.
Queremos dois números cuja:
soma seja −b/a
e cujo:
produto seja c/a
No exemplo:
x² − 5x + 6 = 0
procuramos dois números que somem 5 e multipliquem 6.
São:
2 e 3
Equação incompleta também funciona?
Sim.
Uma equação pode ter:
b = 0
ou:
c = 0
e continuar sendo do segundo grau.
Exemplo:
2x² − 8 = 0
tem:
a = 2
b = 0
c = −8
As raízes são:
2 e −2
Exemplo com c igual a zero
Considere:
x² − 5x = 0
Podemos colocar x em evidência:
x(x − 5) = 0
Então:
x = 0
ou:
x = 5
A fórmula de Bhaskara chega ao mesmo resultado.
Posso usar números decimais?
Sim.
Por exemplo:
1,5x² − 2,5x + 1 = 0
A calculadora aceita vírgula decimal e faz o mesmo processo.
Posso usar coeficientes negativos?
Sim.
O sinal deve ser informado junto com o número.
Exemplo:
−2x² + 4x + 6 = 0
tem:
a = −2
b = 4
c = 6
Nesse caso, a parábola possui concavidade para baixo.
O que são raízes complexas?
Quando delta é negativo, aparece a raiz quadrada de um número negativo.
Usamos então:
i = √−1
Por exemplo:
√−9 = 3i
As raízes aparecem como:
a + bi
e:
a − bi
Essas duas soluções são chamadas conjugadas complexas.
Delta negativo significa que a equação está errada?
Não.
Significa apenas que não existem raízes reais.
A equação continua sendo perfeitamente válida.
Seu gráfico simplesmente não cruza o eixo x.
Qual a relação entre raízes e gráfico?
Quando:
Δ > 0
a parábola cruza o eixo x em dois pontos.
Quando:
Δ = 0
ela toca o eixo x em um único ponto.
Quando:
Δ < 0
ela não toca o eixo x.
Onde equações do 2º grau aparecem?
Podem aparecer em problemas envolvendo:
- áreas;
- trajetórias;
- física;
- velocidade;
- otimização;
- lucro máximo;
- geometria;
- modelagem matemática.
Sempre que uma situação produz um termo elevado ao quadrado, pode surgir uma equação quadrática.
Como conferir se uma raiz está correta?
Substitua o valor encontrado na equação original.
Exemplo:
x² − 5x + 6
com:
x = 3
fica:
9 − 15 + 6 = 0
Como o resultado é zero, a raiz está correta.
Também é possível conferir pelas relações de Girard.
Por que a calculadora mostra soma e produto?
Porque é uma forma rápida de validar as raízes.
Se a soma ou o produto não correspondem aos coeficientes, existe algum erro no cálculo.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula de Bhaskara?
x = (−b ± √Δ) ÷ 2a
Como calcular delta?
Δ = b² − 4ac
Quantas raízes existem se delta for positivo?
Duas raízes reais diferentes.
E se delta for zero?
Uma raiz real dupla.
E se delta for negativo?
Não existem raízes reais, mas existem duas raízes complexas conjugadas.
Por que a não pode ser zero?
Porque sem o termo x² a equação passa a ser do primeiro grau.
Como calcular o vértice?
xv = −b/2a
e:
yv = −Δ/4a
Como descobrir a soma das raízes?
−b/a
Como descobrir o produto das raízes?
c/a
Posso usar coeficientes decimais?
Sim.
Fontes e metodologia
A ferramenta trabalha com equações na forma:
ax² + bx + c = 0
com:
a ≠ 0
O discriminante é calculado por:
Δ = b² − 4ac
As raízes reais são calculadas usando:
x = (−b ± √Δ) ÷ 2a
Quando Δ é negativo, a ferramenta utiliza a forma complexa da mesma expressão.
O vértice é calculado por:
xv = −b ÷ 2a
yv = −Δ ÷ 4a
As relações de Girard utilizadas para conferência são:
x₁ + x₂ = −b/a
e:
x₁ × x₂ = c/a
A metodologia segue as regras algébricas tradicionais utilizadas na resolução de equações quadráticas.
Conteúdo revisado conforme a metodologia matemática utilizada.