A calculadora de equação da reta encontra a equação de uma linha a partir de dois pontos, de um ponto com o coeficiente angular ou diretamente dos coeficientes m e b. Veja a forma reduzida, ponto-inclinação, forma geral, interseções com os eixos e a resolução passo a passo.
Encontre a equação de uma reta
Use dois pontos, um ponto com coeficiente angular ou diretamente a inclinação e o intercepto para obter todas as formas principais da equação da reta.
Informe os dados conhecidos da reta para começar.
Como usar a calculadora de equação da reta?
Escolha primeiro quais informações você possui.
Se conhece dois pontos da reta, informe as coordenadas de A e B.
Se conhece um ponto e o coeficiente angular, escolha a segunda opção.
Também é possível informar diretamente o coeficiente angular m e o coeficiente linear b.
A calculadora mostra as diferentes formas da equação, inclinação, interceptos e resolução passo a passo.
O que é a equação da reta?
É uma expressão matemática que representa todos os pontos pertencentes a uma determinada reta no plano cartesiano.
Uma das formas mais conhecidas é:
y = mx + b
em que:
m é o coeficiente angular;
b é o coeficiente linear.
Como encontrar a equação da reta por dois pontos?
Considere:
A(x₁,y₁)
e:
B(x₂,y₂)
Primeiro calculamos o coeficiente angular:
m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
Depois encontramos b usando:
y = mx+b
Substituímos um dos pontos conhecidos e isolamos b.
Exemplo com dois pontos
Considere:
A(1,2)
e:
B(4,11)
Primeiro:
Δy = 11−2 = 9
Δx = 4−1 = 3
Então:
m = 9/3 = 3
Agora usamos A(1,2):
2 = 3×1+b
Logo:
b = −1
Portanto:
y = 3x−1
O que é coeficiente angular?
O coeficiente angular indica a inclinação da reta.
Na equação:
y = mx+b
ele é representado pela letra m.
Se:
m > 0
a reta é crescente.
Se:
m < 0
ela é decrescente.
Se:
m = 0
a reta é horizontal.
Como calcular o coeficiente angular?
Dados dois pontos:
m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
Ou seja, dividimos a variação vertical pela variação horizontal.
Essa razão também pode ser escrita como:
m = Δy/Δx
Qual a relação entre coeficiente angular e ângulo?
O coeficiente angular também está relacionado ao ângulo θ da reta com o eixo x:
m = tan(θ)
Assim:
θ = arctan(m)
Para uma reta vertical, a inclinação é 90° e o coeficiente angular não é definido.
O que é coeficiente linear?
Na forma:
y = mx+b
b é o coeficiente linear.
Ele mostra onde a reta cruza o eixo y.
Por exemplo:
y = 2x+3
corta o eixo y no ponto:
(0,3)
O que é forma reduzida da reta?
É:
y = mx+b
Essa forma permite identificar imediatamente os coeficientes angular e linear.
Exemplo:
y = 4x−7
possui:
m = 4
e:
b = −7
O que é forma ponto-inclinação?
Quando conhecemos um ponto:
(x₁,y₁)
e a inclinação m, podemos escrever:
y−y₁ = m(x−x₁)
Essa forma permite construir a reta sem precisar encontrar b primeiro.
Exemplo de ponto e inclinação
Considere o ponto:
(2,5)
e:
m = −2
Temos:
y−5 = −2(x−2)
Desenvolvendo:
y−5 = −2x+4
Logo:
y = −2x+9
O que é forma geral da reta?
Uma forma comum é:
Ax+By+C=0
Por exemplo:
y = 3x−1
pode ser reorganizada como:
3x−y−1=0
A forma geral também consegue representar retas verticais.
O que acontece em uma reta vertical?
Considere:
A(3,1)
e:
B(3,8)
Temos:
x₁ = x₂
Então:
Δx = 0
Calcular:
Δy/Δx
exigiria divisão por zero.
Por isso seu coeficiente angular não é definido.
A equação é simplesmente:
x = 3
Uma reta vertical possui forma y = mx+b?
Não.
Uma equação vertical do tipo:
x = 3
não pode ser escrita como uma função y = mx+b.
Por isso a forma geral é mais abrangente.
O que é uma reta horizontal?
Uma reta horizontal possui:
m = 0
Por exemplo:
y = 5
Todos os seus pontos possuem coordenada y igual a 5.
Seu ângulo de inclinação é 0°.
Como encontrar o intercepto em y?
Na forma:
y = mx+b
b já é o valor do intercepto.
O ponto é:
(0,b)
Como encontrar o intercepto em x?
No eixo x temos:
y = 0
Então:
0 = mx+b
Logo:
x = −b/m
desde que:
m ≠ 0
Exemplo de interceptos
Considere:
y = 2x−4
Intercepto em y:
(0,−4)
Para o eixo x:
0 = 2x−4
Então:
x = 2
Intercepto:
(2,0)
O que é forma segmentária da reta?
Quando uma reta cruza os dois eixos em pontos diferentes da origem, podemos escrevê-la como:
x/p + y/q = 1
onde:
p é o intercepto no eixo x;
q é o intercepto no eixo y.
Como saber se uma reta é crescente?
Se:
m > 0
a reta sobe conforme x aumenta.
Por exemplo:
y = 3x+2
é crescente.
Como saber se uma reta é decrescente?
Se:
m < 0
a reta desce conforme x aumenta.
Exemplo:
y = −2x+5
é decrescente.
Como saber se um ponto pertence a uma reta?
Substitua suas coordenadas na equação.
Considere:
y = 2x+1
Ponto:
(2,5)
Substituindo:
5 = 2×2+1
5 = 5
Logo, o ponto pertence à reta.
Dois pontos iguais definem uma reta?
Não de forma única.
Por um único ponto passam infinitas retas.
Por isso, quando usamos o modo de dois pontos, eles precisam possuir coordenadas diferentes.
O que é Δx?
É:
Δx = x₂−x₁
Representa a variação horizontal entre dois pontos.
O que é Δy?
É:
Δy = y₂−y₁
Representa a variação vertical.
O coeficiente angular é:
m = Δy/Δx
Qual a relação entre reta e distância entre dois pontos?
Os mesmos dois pontos usados para encontrar a equação também permitem calcular o comprimento do segmento que os liga:
d = √(Δx²+Δy²)
Por isso a calculadora também mostra essa distância no modo de dois pontos.
Como calcular o ponto médio?
Para:
A(x₁,y₁)
e:
B(x₂,y₂)
o ponto médio é:
M=((x₁+x₂)/2 ; (y₁+y₂)/2)
Ele fica exatamente no centro do segmento AB.
Qual a relação com o plano cartesiano?
Uma reta pode ser vista como o conjunto de todos os pontos cujas coordenadas satisfazem sua equação.
Por exemplo:
na reta:
y = 2x+1
se x=0:
y=1.
Se x=1:
y=3.
Se x=2:
y=5.
Todos esses pontos estão alinhados.
Retas paralelas possuem qual relação?
Duas retas não verticais paralelas possuem o mesmo coeficiente angular.
Por exemplo:
y = 2x+1
e:
y = 2x−5
possuem:
m = 2
mas interceptos diferentes.
E retas perpendiculares?
Quando duas retas não são verticais ou horizontais, seus coeficientes angulares satisfazem:
m₁×m₂ = −1
Então:
m₂ = −1/m₁
Por exemplo, se:
m₁ = 2
uma reta perpendicular possui:
m₂ = −1/2
Para que serve a equação da reta?
Ela aparece em:
- geometria analítica;
- funções;
- gráficos;
- física;
- engenharia;
- economia;
- regressão linear;
- coordenadas;
- modelagem;
- problemas de movimento.
Perguntas frequentes
Qual é a forma reduzida da reta?
y = mx+b
Como encontrar m por dois pontos?
m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
O que é b?
É o coeficiente linear e representa o intercepto no eixo y.
Qual é a forma ponto-inclinação?
y−y₁=m(x−x₁)
Qual é a forma geral?
Ax+By+C=0
O que acontece se x₁=x₂?
A reta é vertical e possui equação x=x₁.
Como saber se a reta é crescente?
Se m for positivo.
Como saber se é decrescente?
Se m for negativo.
Posso usar coordenadas negativas?
Sim.
Posso usar números decimais?
Sim.
Fontes e metodologia
Para dois pontos:
m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
quando:
x₂ ≠ x₁
Depois:
b=y₁−mx₁
e a forma reduzida é:
y=mx+b
A forma ponto-inclinação é:
y−y₁=m(x−x₁)
A forma geral utilizada é:
Ax+By+C=0
Quando:
x₁=x₂
a reta é vertical e assume a forma:
x=x₁
A inclinação angular é obtida a partir da relação:
m=tan θ
Para dois pontos, a ferramenta também calcula distância e ponto médio usando as fórmulas da geometria analítica.
Conteúdo revisado conforme as propriedades da geometria analítica utilizadas.