A calculadora de distância entre dois pontos encontra o comprimento do segmento entre duas coordenadas no plano cartesiano ou no espaço 3D. Informe os pontos para ver a distância, diferenças entre coordenadas, ponto médio, vetor deslocamento e resolução passo a passo.
Calcule a distância entre dois pontos
Informe as coordenadas de dois pontos no plano ou no espaço para encontrar a distância, o ponto médio, o vetor deslocamento e a memória do cálculo.
Informe as coordenadas dos dois pontos para começar.
Como usar a calculadora de distância entre dois pontos?
Escolha primeiro se deseja trabalhar no plano cartesiano 2D ou no espaço 3D.
No modo 2D, informe as coordenadas x e y dos pontos A e B.
No modo 3D, informe também a coordenada z.
A calculadora mostra a distância, as diferenças entre coordenadas, o vetor AB, o ponto médio e a resolução completa da fórmula.
Qual é a fórmula da distância entre dois pontos?
No plano cartesiano, considere:
A(x₁,y₁)
e:
B(x₂,y₂)
A distância é:
d = √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]
Essa fórmula é uma aplicação direta do Teorema de Pitágoras.
Por que a fórmula usa raiz quadrada?
As diferenças:
x₂−x₁
e:
y₂−y₁
formam os dois catetos de um triângulo retângulo.
A distância entre os pontos é a hipotenusa.
Por Pitágoras:
d² = Δx²+Δy²
Então:
d = √(Δx²+Δy²)
Exemplo de distância entre dois pontos
Considere:
A(1,2)
e:
B(4,6)
Primeiro:
Δx = 4−1 = 3
Depois:
Δy = 6−2 = 4
Então:
d = √(3²+4²)
d = √25
d = 5
O que significa Δx?
Δx representa a diferença horizontal entre os dois pontos:
Δx = x₂−x₁
Ela pode ser positiva, negativa ou zero.
Para a distância final, essa diferença é elevada ao quadrado.
O que significa Δy?
É a diferença vertical:
Δy = y₂−y₁
Junto com Δx, ela forma os catetos utilizados na fórmula.
Distância pode ser negativa?
Não.
Uma distância representa comprimento e, portanto, nunca é negativa.
Mesmo que Δx ou Δy sejam negativos, seus quadrados são positivos.
Posso usar coordenadas negativas?
Sim.
Por exemplo:
A(−2,3)
e:
B(4,−5)
podem ser calculados normalmente.
As diferenças serão usadas na mesma fórmula.
Posso usar coordenadas decimais?
Sim.
Por exemplo:
A(1,5; 2,2)
e:
B(5,4; 7,8)
A ferramenta aceita valores decimais e vírgula no padrão brasileiro.
O que acontece se os dois pontos forem iguais?
Se:
A = B
então:
Δx = 0
e:
Δy = 0
Logo:
d = 0
O que acontece se os pontos tiverem o mesmo y?
Se:
y₁ = y₂
não existe deslocamento vertical.
Então:
Δy = 0
e a distância passa a ser apenas o módulo da diferença horizontal:
d = |x₂−x₁|
E se os pontos tiverem o mesmo x?
Temos uma linha vertical.
Nesse caso:
Δx = 0
e:
d = |y₂−y₁|
O que é o ponto médio?
Ponto médio é exatamente o ponto localizado no meio do segmento AB.
No plano:
M = ((x₁+x₂)/2 ; (y₁+y₂)/2)
Por exemplo:
A(1,2)
B(5,8)
Então:
M = (3,5)
Como calcular o ponto médio?
Calcule separadamente a média das coordenadas x e a média das coordenadas y.
Para A(x₁,y₁) e B(x₂,y₂):
xm = (x₁+x₂)/2
ym = (y₁+y₂)/2
O que é o vetor AB?
É o vetor que representa o deslocamento do ponto A até B.
Em 2D:
AB = (x₂−x₁ ; y₂−y₁)
Ou seja:
AB = (Δx ; Δy)
Exemplo de vetor deslocamento
A(1,2)
B(4,6)
Então:
AB = (3,4)
O módulo desse vetor é exatamente a distância entre os pontos:
|AB| = 5
O que é coeficiente angular?
Em uma reta não vertical, o coeficiente angular é:
m = Δy/Δx
Ele indica a inclinação da reta que passa pelos dois pontos.
Para A(1,2) e B(4,6):
m = 4/3
E se a reta for vertical?
Se:
Δx = 0
teríamos divisão por zero.
Nesse caso, o coeficiente angular é indefinido.
O que significa direção do vetor?
A direção indica o ângulo do vetor AB em relação ao eixo horizontal positivo.
Ela pode ser calculada usando uma função trigonométrica inversa que considera simultaneamente Δx e Δy.
A calculadora mostra esse ângulo em graus no modo 2D.
Como calcular distância em 3D?
No espaço cartesiano, os pontos possuem três coordenadas:
A(x₁,y₁,z₁)
B(x₂,y₂,z₂)
A fórmula é:
d = √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²]
É uma extensão natural da fórmula 2D.
Como calcular ponto médio em 3D?
A fórmula é:
M = ((x₁+x₂)/2 ; (y₁+y₂)/2 ; (z₁+z₂)/2)
Cada coordenada é calculada separadamente.
Como calcular vetor em 3D?
Temos:
AB = (x₂−x₁ ; y₂−y₁ ; z₂−z₁)
O comprimento desse vetor é a distância entre os pontos.
Qual é a relação com o Teorema de Pitágoras?
A fórmula da distância é essencialmente Pitágoras aplicado ao plano cartesiano.
Em 2D:
Δx
e:
Δy
funcionam como catetos.
A distância funciona como a hipotenusa.
Por isso:
d² = Δx² + Δy²
Qual é a relação com raiz quadrada?
Depois de somar os quadrados das diferenças, precisamos calcular a raiz quadrada.
Por exemplo:
Δx = 1
Δy = 1
Então:
d = √2
Aproximadamente:
1,414214
O resultado pode ser uma raiz exata?
Sim.
Por exemplo:
A(0,0)
B(1,1)
resulta em:
√2
Como √2 não é inteiro, a ferramenta pode apresentar tanto a forma radical quanto a aproximação decimal.
Exemplo clássico 3–4–5
A(1,2)
B(4,6)
Diferenças:
3 e 4
Então:
d = √(9+16)
d = √25
d = 5
Esse é o mesmo padrão do triângulo retângulo 3–4–5.
Como calcular distância da origem?
A origem do plano cartesiano é:
O(0,0)
Se um ponto é:
P(x,y)
a distância da origem é:
d = √(x²+y²)
Exemplo de distância da origem
P(6,8)
Então:
d = √(36+64)
d = √100
d = 10
Distância entre pontos é a mesma coisa que distância geográfica?
Não necessariamente.
A fórmula desta página trabalha em um plano cartesiano euclidiano.
Latitude e longitude representam posições em uma superfície curva.
Para distâncias geográficas grandes, é necessário considerar a geometria da Terra.
Onde a distância entre dois pontos é usada?
Ela aparece em:
- geometria analítica;
- gráficos;
- engenharia;
- topografia;
- desenho técnico;
- computação;
- física;
- vetores;
- coordenadas;
- modelagem matemática.
Qual a relação com topografia?
Em levantamentos planos, diferenças de coordenadas podem ser usadas para encontrar comprimentos entre pontos.
O princípio matemático é a mesma distância euclidiana utilizada nesta calculadora.
Posso calcular a distância entre pontos de quadrantes diferentes?
Sim.
Coordenadas positivas e negativas são tratadas normalmente.
Por exemplo:
A(−2,−3)
B(4,5)
continua usando exatamente a mesma fórmula.
A ordem dos pontos muda a distância?
Não.
A distância de A até B é igual à distância de B até A.
Mesmo que os sinais de Δx e Δy mudem, os quadrados eliminam essa diferença.
Então:
d(A,B)=d(B,A)
A ordem muda o vetor?
Sim.
O vetor:
AB
é o oposto de:
BA
Se:
AB=(3,4)
então:
BA=(−3,−4)
A distância, porém, permanece igual.
Como conferir uma distância?
Você pode conferir as diferenças das coordenadas e aplicar Pitágoras.
Por exemplo:
Δx = 3
Δy = 4
Então:
3²+4²=25
A raiz de 25 é:
5
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula da distância entre dois pontos?
d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]
Como calcular distância em 3D?
Adicione também:
(z₂−z₁)²
dentro da raiz.
Posso usar coordenadas negativas?
Sim.
Posso usar números decimais?
Sim.
A distância pode ser negativa?
Não.
O que é ponto médio?
É o ponto exatamente no meio do segmento que liga A e B.
O que é vetor AB?
É o deslocamento:
(x₂−x₁ ; y₂−y₁)
Se os pontos forem iguais, qual é a distância?
Zero.
A ordem dos pontos altera a distância?
Não.
Qual é a relação com Pitágoras?
A fórmula da distância é uma aplicação direta do Teorema de Pitágoras.
Fontes e metodologia
No plano cartesiano:
d = √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]
No espaço:
d = √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²]
O ponto médio 2D é:
M=((x₁+x₂)/2 ; (y₁+y₂)/2)
O vetor deslocamento é:
AB=(x₂−x₁ ; y₂−y₁)
No modo 2D, o coeficiente angular é calculado por:
m=Δy/Δx
quando Δx é diferente de zero.
A ferramenta utiliza distância euclidiana e não deve ser confundida com cálculo de distância sobre latitude e longitude.
Conteúdo revisado conforme as propriedades da geometria analítica utilizadas.