A calculadora de raiz quadrada encontra o valor exato ou aproximado de uma raiz e, quando possível, simplifica o radical automaticamente. Informe um número para ver a forma simplificada, fatoração, aproximação decimal, quadrados vizinhos e a conferência do resultado.
Calcule e simplifique raízes quadradas
Informe um número para encontrar sua raiz quadrada, forma radical simplificada, aproximação decimal e resolução passo a passo.
Informe um número para calcular sua raiz quadrada.
Como usar a calculadora de raiz quadrada?
Informe o número do qual deseja extrair a raiz e escolha quantas casas decimais quer visualizar.
A calculadora mostra a raiz, identifica quando o resultado é exato, simplifica o radical quando possível e apresenta uma aproximação decimal.
Para números inteiros, também mostramos a fatoração e os quadrados perfeitos utilizados na simplificação.
Se o número for negativo, a solução é apresentada no conjunto dos números complexos.
O que é raiz quadrada?
A raiz quadrada de um número é um valor que, multiplicado por ele mesmo, produz o número original.
Por exemplo:
√49 = 7
porque:
7 × 7 = 49
Da mesma forma:
√144 = 12
porque:
12² = 144
A radiciação pode ser entendida como uma operação inversa da potenciação.
O que significa o símbolo √?
O símbolo:
√
é chamado de radical.
O número que aparece dentro dele é chamado de radicando.
Por exemplo:
√25
25 é o radicando.
Na raiz quadrada, o índice 2 não precisa ser escrito.
Por isso:
²√25
normalmente é escrito apenas como:
√25
O que é raiz quadrada exata?
Uma raiz é exata quando o resultado pode ser representado exatamente por um número inteiro no caso de um radicando inteiro positivo.
Exemplo:
√81 = 9
porque:
9² = 81
Outro exemplo:
√225 = 15
porque:
15² = 225
O que é um quadrado perfeito?
Um número inteiro positivo é chamado de quadrado perfeito quando pode ser obtido elevando outro inteiro ao quadrado.
Exemplos:
1 = 1²
4 = 2²
9 = 3²
16 = 4²
25 = 5²
36 = 6²
49 = 7²
64 = 8²
81 = 9²
100 = 10²
Por isso todos esses números possuem raiz quadrada inteira.
Como calcular raiz quadrada?
Para raízes pequenas e exatas, podemos procurar um número que multiplicado por ele mesmo produza o radicando.
Por exemplo:
√64
Procuramos:
8 × 8 = 64
Portanto:
√64 = 8
Quando o número não é um quadrado perfeito, podemos usar aproximações ou simplificar o radical.
Quanto é a raiz quadrada de 72?
A raiz não é inteira.
Podemos fatorar:
72 = 2³ × 3²
ou escrever:
72 = 36 × 2
Então:
√72 = √(36 × 2)
Como:
√36 = 6
temos:
√72 = 6√2
Em decimal:
√72 ≈ 8,485281
Como simplificar uma raiz quadrada?
Procure fatores do radicando que sejam quadrados perfeitos.
Exemplo:
√50
Podemos escrever:
50 = 25 × 2
Então:
√50 = √25 × √2
Como:
√25 = 5
resultado:
5√2
Essa é a forma radical simplificada.
Como simplificar pela fatoração em primos?
Considere novamente:
√72
Fatoração:
72 = 2³ × 3²
Podemos separar:
72 = 2² × 2 × 3²
Dentro de uma raiz quadrada, cada par de fatores iguais permite retirar um fator para fora.
Então:
√72 = 2 × 3 × √2
Resultado:
6√2
Por que os fatores saem em pares?
Porque estamos trabalhando com raiz de índice 2.
Por exemplo:
√(5²) = 5
Assim, quando dois fatores iguais aparecem dentro de uma raiz quadrada, eles formam um quadrado e um deles pode sair do radical.
O que significa forma radical simplificada?
É uma forma em que não existe mais nenhum fator quadrado perfeito maior que 1 dentro do radical.
Exemplo:
√12
Podemos escrever:
√(4 × 3)
Então:
2√3
Como 3 não possui nenhum fator quadrado perfeito maior que 1, a expressão já está simplificada.
Qual é a raiz quadrada de 2?
Não existe número racional cujo quadrado seja exatamente 2.
Por isso:
√2
é mantido como valor exato.
Sua aproximação decimal começa em:
1,41421356…
Esse decimal não termina.
Qual é a raiz quadrada de 3?
Forma exata:
√3
Aproximação:
1,7320508…
Como 3 não possui fator quadrado perfeito maior que 1, o radical não pode ser simplificado.
Qual é a raiz quadrada de 8?
Podemos escrever:
8 = 4 × 2
Então:
√8 = √4 × √2
Resultado:
2√2
Aproximação:
2,828427…
Qual é a raiz quadrada de 12?
12 = 4 × 3
Então:
√12 = 2√3
Aproximação:
3,464102…
Qual é a raiz quadrada de 18?
18 = 9 × 2
Então:
√18 = 3√2
Aproximação:
4,242641…
Qual é a raiz quadrada de 20?
20 = 4 × 5
Então:
√20 = 2√5
Qual é a raiz quadrada de 50?
50 = 25 × 2
Então:
√50 = 5√2
Qual é a raiz quadrada de 100?
√100 = 10
É uma raiz exata porque:
10² = 100
Qual é a raiz quadrada de zero?
√0 = 0
porque:
0 × 0 = 0
Existe raiz quadrada de número negativo?
Não no conjunto dos números reais.
Por exemplo:
√−9
não possui uma solução real, porque tanto:
3²
quanto:
(−3)²
resultam em 9, e não −9.
No conjunto dos números complexos utilizamos:
i² = −1
Então:
√−9 = 3i
Como simplificar uma raiz negativa?
Considere:
√−50
Podemos separar:
√−50 = √50 × i
Como:
√50 = 5√2
temos:
√−50 = 5√2 i
Em forma decimal:
aproximadamente 7,071068i
O resultado da raiz quadrada pode ser negativo?
Quando escrevemos:
√25
o símbolo radical representa a raiz quadrada principal:
5
e não −5.
Porém, na equação:
x² = 25
existem duas soluções:
x = 5
e:
x = −5
Essas duas situações não devem ser confundidas.
Como saber entre quais inteiros está uma raiz?
Compare o número com quadrados perfeitos próximos.
Exemplo:
√72
Sabemos:
8² = 64
e:
9² = 81
Como:
64 < 72 < 81
temos:
8 < √72 < 9
Essa é uma boa forma de conferir se uma aproximação faz sentido.
Como aproximar uma raiz quadrada?
Podemos localizar a raiz entre dois inteiros e depois refinar a aproximação.
Por exemplo:
√10
Sabemos:
3² = 9
4² = 16
Então:
√10
está entre 3 e 4.
Sua aproximação é:
3,162277…
Como conferir uma raiz quadrada?
Eleve o resultado ao quadrado.
Exemplo:
Se:
√144 = 12
então:
12² = 144
Para valores aproximados, o quadrado também será aproximadamente igual ao número original.
Raiz quadrada e potência são operações inversas?
Em muitos contextos, sim.
Se:
x ≥ 0
então:
(√x)² = x
Por exemplo:
(√36)² = 36
√a² é sempre igual a a?
É preciso cuidado.
Para números reais:
√(a²) = |a|
ou seja, o valor absoluto de a.
Exemplo:
se:
a = −5
então:
√((-5)²) = √25 = 5
e não −5.
A raiz de uma soma pode ser separada?
Não em geral.
Por exemplo:
√(9 + 16)
é:
√25 = 5
Mas:
√9 + √16
é:
3 + 4 = 7
Portanto:
√(a+b) ≠ √a + √b
em geral.
A raiz de um produto pode ser separada?
Para números reais não negativos:
√(a × b) = √a × √b
Essa propriedade é justamente uma das ferramentas utilizadas na simplificação.
Exemplo:
√(9 × 2)
é:
3√2
Como transformar raiz em potência?
Uma raiz quadrada pode ser escrita como potência de expoente fracionário:
√x = x^(1/2)
Por exemplo:
√16 = 16^(1/2) = 4
Qual é a diferença entre raiz quadrada e raiz cúbica?
Raiz quadrada procura um número que, elevado a 2, produz o radicando.
Raiz cúbica procura um número que, elevado a 3, produz o radicando.
Exemplo:
√64 = 8
porque:
8² = 64
Já:
∛64 = 4
porque:
4³ = 64
Raiz quadrada de decimal funciona?
Sim.
Exemplo:
√0,49
é:
0,7
porque:
0,7 × 0,7 = 0,49
A ferramenta aceita números decimais usando vírgula ou ponto.
E a raiz de 2,25?
√2,25 = 1,5
porque:
1,5² = 2,25
Raiz não exata é sempre irracional?
Quando o radicando é um inteiro positivo que não é quadrado perfeito, sua raiz quadrada é irracional.
Por exemplo:
√2
√3
√5
não podem ser expressos exatamente como uma fração de dois inteiros.
O que é um número irracional?
É um número real que não pode ser representado como razão entre dois inteiros.
Sua representação decimal é infinita e não periódica.
Raízes como:
√2
são exemplos clássicos.
Onde a raiz quadrada é usada?
A raiz quadrada aparece em várias áreas.
Alguns exemplos:
- Teorema de Pitágoras;
- distância entre pontos;
- geometria;
- estatística;
- desvio padrão;
- física;
- engenharia;
- resolução de equações do segundo grau.
Raiz quadrada aparece na fórmula de Bhaskara?
Sim.
A fórmula:
x = (−b ± √Δ) ÷ 2a
utiliza a raiz quadrada do delta.
Por isso, entender raízes ajuda diretamente na resolução de equações quadráticas.
Como a calculadora simplifica o radical?
Para radicandos inteiros, a ferramenta faz a fatoração em números primos.
Depois agrupa fatores iguais em pares.
Cada par fornece um fator para fora da raiz.
Os fatores sem par permanecem dentro do radical.
Exemplo:
72 = 2³ × 3²
Saem:
2 × 3
Fica:
2
Resultado:
6√2
Perguntas frequentes
Como calcular raiz quadrada?
Procure o número que, multiplicado por ele mesmo, resulta no radicando.
Qual é a raiz quadrada de 144?
12
Qual é a raiz quadrada de 72?
6√2 ≈ 8,485281
Como simplificar uma raiz?
Extraia fatores que sejam quadrados perfeitos.
O que é quadrado perfeito?
É um inteiro que pode ser escrito como o quadrado de outro inteiro.
√2 é exata?
Sua forma exata é √2, mas ela não possui representação decimal finita.
Existe raiz quadrada de número negativo?
Não nos reais. Nos complexos, usamos a unidade imaginária i.
Qual é a raiz de −9?
3i
Posso calcular raiz de decimal?
Sim.
√a² é igual a a?
Mais precisamente:
√(a²) = |a|
Fontes e metodologia
A raiz quadrada principal de um número real não negativo é o valor não negativo que, elevado ao quadrado, produz o radicando.
Para números inteiros, a ferramenta também realiza fatoração em primos para encontrar uma forma radical simplificada.
Fatores primos com expoentes em pares podem ser retirados do radical.
Por exemplo:
72 = 2³ × 3²
logo:
√72 = 6√2
Quando o radicando é um quadrado perfeito, o radical é eliminado completamente.
Para números negativos, a ferramenta utiliza:
√−a = i√a
com:
i² = −1
A aproximação decimal é calculada numericamente e pode apresentar arredondamento conforme a quantidade de casas escolhida.
Conteúdo revisado conforme as propriedades matemáticas de radiciação utilizadas.